籌算乘法-[清]胡煦撰《周易函書?約存》

胡煦| 易經注解| 2023-02-14 20:26:59| 0

乘法

術曰:有實有法。先將實數查籌,從左向右齊列,其兩籌每格平行線斜方形合成一位,併為一數矣。或前位有數,或後位有數,皆一位也。或兩位皆有數,則合為一數。次以籌之格為法數,如法數是五,即查第五格也。若法有二位,先查法尾所得數,橫列之。次查法首所得數,進一位橫列之。再用筆算加法,得所求數。乘除皆有法實。實者,現有之物也。法者,今所用以乘之除之之規則也。

凡籌算皆以實列位,而以籌為法。法有幾位,則用幾籌。中有零位,則用○籌。有幾○位,則用幾○籌。凡法實不可誤用,唯乘法或可通融,若除法必須細認。

凡乘法,皆於實末位小數起,視原實某數,即於籌某行取數列之。

一位法式:五十九人,每人八兩,問共若干?曰四百七十二兩。

以五十九人為實,八兩為法。先依實數查第五籌、第九籌,五左九右并列。次依法八查第八格內橫數,曰二、曰七○,曰四,去○不用,自左向右橫視之,得四百七十二兩也。得數尾與法尾數同,故知為兩。

二位法式:五十四人,每人六十四兩,問共若干?曰三千四百五十六兩。

以五十四人為實,六十四兩為法,依實查五四兩籌齊列。先依法尾四查第四格,曰六,曰一○,曰二,自右向左橫列之。次依法首六查第六格,曰四,曰二○,曰三,進一位橫列之。用筆算加法,得三千四百五十六兩也。多位法者視此。每查格一囘,進一位列數,此橫列之法,故從右起。梅定九竪列之,則應自下而上矣。九格內凡遇右尾有○,必須列之以存位,其○在數中者,說詳後式。

【併二一六法三二四】

【得數】三四五六

如一年三百六十日,每日一十二時。問:共幾何?答曰:四千三百二十時。

法列一籌二籌,看六三兩位,六位為七二,三位為三六,合併得四三二。

定位法從末位起,知未位是十,上一位便是百,又上一位便是千也。若末位是單,上一位便是十。

二一三、籌為法式。如每歲三百六十五日,每日九十六刻,該刻幾何?曰三萬五千○四十刻。

法:列三六五三籌,看九六兩位,六位二一九,九位三二八五,因六位二一九下有一○,則存之,以存刻位。

籌內斜方有○無數。式:五十四人,每人二十八兩,問共若干?曰:一千五百一十二兩。

以五十四人為實,查籌并列二十八兩為法。先查八格,曰二,曰三○,曰四,橫列之。次查二格,曰八,曰○,曰一,進一位列之,加得合問,若○斜方之中,有數有○則去不用。若無數有○則須存之以定位。如八格去○列三,二格列○存位是也。

籌內斜方併數進十式:有八十七人,每人六兩,問共若干?曰五百二十二兩。

以八十七人為實,查籌并列。六兩為法,查六格,曰二,曰四八,曰四。其曰四八者,并為十二,本位存二,以十進位作一。其曰四者,併所進之一為五,當自右向左列,曰二二五矣。自下而上者亦然。若自上順數之,則為五二二。

法尾有空式,如每年三百六十日,今三千八百三十年。問日該幾何?曰一百三十七萬八千八百○日。此因所問止及十數,未及單位之日,故法尾存單位為日。法列三六兩籌,而後加一○籌,先看三位為一○八,次看八位,進一位為二八八,又次看三位,又進一位為一○八,並之得一三七八。八下有○,○方至單位,但知尾位一圈是單日,則各位皆定。

實尾位有空式:如一十二萬日,每日九十六刻,該則幾何?曰一千一百五十二萬刻。法:置九六兩籌,看一二兩位,二位為一九二,一位為○九六,因一位上有一圈,故必存○位于上。然所問為每日,則日為單位,而所問實止於萬,則千百十單必須存四空位,方能及於單日。

用零籌式:六百零八人,每人三十四兩,問共若干?曰二萬零六百七十二兩。以六百零八人為實,查六籌、零籌、八籌,并列三十四兩為法。先查四格,曰二,曰三○,曰四,曰二,橫列之。次查三格,曰四,曰二○,曰八,曰一,進一位列之。加得合問。

實數整幾十者,列一零籌于右;整幾百者,列二零籌于右,以定位也。

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